<多選>考慮實係數多項式 \(f(x)=x^4-4x^3-2x^2+ax+b\)。已知方程式 \(f(x)=0\) 有虛根 \(1+2i\) （其中 \(i=\sqrt{-1}\)），試選出正確的選項。
(1) \(1-2i\) 也是 \(f(x)=0\) 的根
(2) \(a, b\) 皆為正數
(3) \(f'(2.1)<0\)
(4) 函數 \(y=f(x)\) 在 \(x=1\) 有局部極小值
(5) \(y=f(x)\) 圖形反曲點的 \(x\) 坐標皆大於0
答案
選項（1）：
實係數多項式虛根成共軛對，\(1 + 2i\)是根，則\(1 - 2i\)必為根，正確。
選項（2）：
由\((x - (1 + 2i))(x - (1 - 2i)) = x^2 - 2x + 5\)，對\(f(x)\)作多項式長除法得餘式0，可得\(a = -26\)，\(b = -60\)，非正數，錯誤。
選項（3）：\(f'(x) = 4x^3 - 12x^2 - 4x - 26\)，計算\(f'(2.1)\)：\(4(2.1)^3 - 12(2.1)^2 - 4(2.1) - 26 < 0\)，正確。
選項（4）：\(f'(1) = 4 - 12 - 4 - 26 = -38 \neq 0\)，\(x = 1\)非極值點，錯誤。
選項（5）：\(f''(x) = 12x^2 - 24x - 4\)，令\(f''(x) = 0\)，解\(x = \frac{24 \pm \sqrt{768}}{24} 未必大於 0\)，錯誤。 報錯
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