113學測數學B1模考3-12

<多選題>魯夫、索隆與那美三人自 A 點處出發，已知魯夫沿著 a 方向，每分鐘走 x 公尺；索隆沿著 b 方向每分鐘走 y 公尺；那美沿著 c 方向前進。魯夫讓索隆、那美兩人先走 1 分鐘後再出發。當魯夫走 1 分鐘後到達 B 點時，索隆走到 C 點，且兩人走的路徑長總和為 20 公尺，而那美走到 BC 上一點 P，且\(3\overset{\rightharpoonup}{AP}=\frac{3}{5}\overset{\rightharpoonup}{AB}+t\overset{\rightharpoonup}{AC}\)，若\(\overset{\rightharpoonup}{a} \perp \overset{\rightharpoonup}{b}\)。試選出正確的選項。
(1)\(2x+y=20\)
(2)\(BP:CP=2:3\)
(3)\(\overset{\rightharpoonup}{AP}\)在\(\overset{\rightharpoonup}{AB}\)與\(\overset{\rightharpoonup}{AC}\)上的正射影長比 = 3：4
(4)\(B,C\)兩點距離最小值為 102 公尺
(5)\(\triangle ABP\)面積最大值為 30 平方公尺

答案

(2)(4)

由路徑長和得\(x+2y=20\)，(1)錯。由\(P\)在\(BC\)上得係數和為1，解得\(t=2/5\)，故\(BP:PC=2:3\)，(2)對。正射影長比為\(3x : 4y\)，因\(x,y\)不一定相等，(3)錯。\(BC=\sqrt{x^2+(2y)^2}\)，利用\(x+2y=20\)化簡得\(\sqrt{2(x-10)^2+200} \ge 10\sqrt{2}\)，(4)對（原答案似有誤，最小值應為\(10\sqrt{2} \approx 14.14\)）。面積最大值為20，(5)錯。

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