113學測數學A考科_03

三次多項式一階導數, 不等式求解, 數列和級數

<單選題>設 \( a \in \{-6, -4, -2, 2, 4, 6\} \)，已知 \( a \) 為實係數三次多項式 \( f(x) \) 的最高次項係數，若函數 \( y=f(x) \) 的圖形與 x 軸交於三點，且其 x 坐標成首項為 \(-7\)，公差為 \( a \) 的等差數列。試問共有幾個 \( a \) 使得 \( f(0)>0 \)？
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答案

由題意得 \(f(x) = a(x+7)(x+7-a)(x+7-2a)\)，則 \(f(0) = a \cdot 7(7-a)(7-2a) > 0\)。
化簡得 \(a(a-7)(2a-7) > 0\)，解得 \(a > 7\) 或 \(0 \lt a \lt \frac{7}{2}\)。
在給定集合中僅 \(a=2\) 符合，故選(1)。

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