<多選題>
某音樂公司調查公司內每位歌手某一個月內練習唱歌的小時數及該歌手下個月參加各項歌唱比賽的獲獎次數。令\(x\)表示練習唱歌的小時數，\(y\)表示獲獎次數。若\(y\)對\(x\)的迴歸直線為\(y = \frac{3}{8}x + k\)，\(k\)為常數，分別以\(\mu_x, \mu_y, \sigma_x, \sigma_y\)表示\(x\)的算術平均數，\(y\)的算術平均數，\(x\)的標準差，\(y\)的標準差。試選出正確的選項。
(1) 若\(k \gt 0\)，則\(\mu_x \lt \mu_y\)
(2) 若\(k \lt 0\)，則\(\mu_x \gt \mu_y\)
(3) 若\(\sigma_x = 10\)，則\(\sigma_y\)可能為 3
(4) 若\(\sigma_y = 7\)，則\(\sigma_x\)可能為 10
(5) 若分別將\(x\)、\(y\)標準化得\(x’\)及\(y’\)則\(y’\)對\(x’\)的迴歸直線為\(y = \frac{3}{8}x\)
(2)(4)
(1)錯，取\(\mu_x=8, k=1\)得\(\mu_y=4\)，則\(\mu_x \gt \mu_y\)。
(2)對，由\(\mu_y = \frac{3}{8}\mu_x + k\)，當\(k\lt0\)時，必有\(\mu_y \lt \mu_x\)。
(3)錯，(4)對：迴歸直線斜率\(m = r \frac{\sigma_y}{\sigma_x} = \frac{3}{8}\)，故\(\frac{\sigma_y}{\sigma_x} = \frac{3}{8r}\)，其中\(0 \lt |r| \le 1\)。因此\(\frac{\sigma_y}{\sigma_x} \ge \frac{3}{8}\)（當\(|r|=1\)時等號成立）。故若\(\sigma_x=10\)，則\(\sigma_y \ge 3.75\)，不可能為3。若\(\sigma_y=7\)，則\(\sigma_x \le \frac{56}{3} \approx 18.67\)，可能為10。
(5)錯，標準化後迴歸直線為\(y' = r x'\)，其中\(r\)為相關係數，不一定等於\(3/8\)。
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