\(\frac{20}{21}\)

定義隨機變數\(X\)為選取5格形成的連線數。求\(E[X]\)。利用期望值的線性性質：對於8條可能的連線\(L_i\)，定義指示隨機變數\(I_i\)，當\(L_i\)的3格全被選中時為1，否則為0。則\(X = \sum_{i=1}^{8} I_i\)，故\(E[X] = \sum_{i=1}^{8} P(I_i=1)\)。每條線被全選的機率相同：從9格選5格，包含特定3格的選法有\(C^6_2=15\)種（再從其他6格選2格）。故\(P(I_i=1) = \frac{15}{126} = \frac{5}{42}\)。因此\(E[X] = 8 \times \frac{5}{42} = \frac{40}{42} = \frac{20}{21}\)。

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