<單選題>
已知\(a, b\)為正實數，且滿足$\begin{cases}a\sqrt{a}+ b\sqrt{b} = 18\\ \sqrt{a} + \sqrt{b} = 3\end{cases}$，試求\(a + b\)之值。
(1) 5
(2) 6
(3) 7
(4) 8
(5) 9
答案
(3)
令\(a = x^2\), \(b = y^2\) (其中\(x, y \gt 0\))，原式化為\(x^2 + y^2 = 18\)。又原式為\(\sqrt{a^3} + \sqrt{b^3} = 18\)，即\(x^3 + y^3 = 18\)。利用公式\(x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)\)，設\(x+y=S\), \(xy=P\)，可得\(S(S^2-3P)=18\)且\(S^2-2P=18\)。聯立解得\(S=3\)，故\(a+b = x^2+y^2 = 18 - 2P\)，代入得\(a+b=7\)。
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