<多選題>
已知\(f(x)\)、\(g(x)\)皆為三次多項式，\(h(x)\)為二次多項式，\(f(x)\)和\(g(x)\)除以\(h(x)\)的餘式為\(r_1(x)\)和\(r_2(x)\)，其中\(r_1(x)\)為一次多項式，\(r_2(x)\)為常數多項式。試選出正確的選項。
(1) \(3f(x) + 2g(x)\)必為3次多項式
(2) \(12f(x) + 9g(x)\)除以\(3h(x)\)的餘式為\(4r_1(x) + 3r_2(x)\)
(3) \((3x + 2)g(x)\)除以\(h(x)\)的餘式為\((3x + 2)r_2(x)\)
(4) \(3f(x)\)除以\(x^2 h(x)\)的餘式必為3次多項式
(5) \(f(x)g(x)\)除以\(h(x)\)的餘式必為\(r_1(x)r_2(x)\)
答案
(3)(4)(5)
(1)錯，可能因係數相加抵消使次數降低。
(2)錯，除以\(3h(x)\)時，應將餘式\(4r_1(x)+3r_2(x)\)除以\(h(x)\)後所得餘式才是真正的餘式。
(3)對，餘式定理之推廣。
(4)對，除式為4次，餘式次數小於4，而\(3f(x)\)為3次，故餘式即為\(3f(x)\)本身（若次數小於除式），或為3次多項式。
(5)對，積的餘式等於餘式的積再除以\(h(x)\)的餘式。因\(r_1(x)r_2(x)\)次數小於2，故即為餘式。
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