<多選題>
已知滿足方程式\(2^x \cdot 3^y = 12\)的所有實數數對\((x,y)\)在平面上形成一直線\(L\)。試選出正確的選項。
(1) 直線\(L\)通過點\((2,1)\)
(2) 直線\(L\)的斜率為正實數
(3) 直線\(L\)的\(y\)截距為小於3的正數
(4) 直線\(L\)不通過第三象限
(5) 若直線\(L’\)與\(L\)垂直，則直線\(L’\)的斜率為\(\log_2 3\)
答案
(1)(3)(4)(5)
方程式兩邊取對數：\(x\log 2 + y\log 3 = \log 12\)，整理得\(y = -\frac{\log 2}{\log 3}x + \frac{\log 12}{\log 3}\)。
(1)對，代入驗算成立。
(2)錯，斜率為負（\(-\log_2 3\)）。
(3)對，y截距為\(\log_3 12\)，因\(9\lt12\lt27\)，故\(2 \lt \log_3 12 \lt 3\)。
(4)對，斜率負、y截距正，故圖形通過第二、一、四象限。
(5)對，L斜率為\(-\frac{1}{\log_2 3}\)，垂直線斜率為其倒數，即\(\log_2 3\)。
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