<多選題>
平行四邊形\(ABCD\)，已知\(P\)為\(BC\)上一點，且\(\overrightarrow{AP} = a \overrightarrow{AB} + b \overrightarrow{AD}\)，其中\(P \neq B\)且\(P \neq C\)，\(\overrightarrow{AQ} = b \overrightarrow{AB} + a \overrightarrow{AD}\)，\(\overrightarrow{AR} = (a-0.1)\overrightarrow{AB} + b \overrightarrow{AD}\)，\(\overrightarrow{AS} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{AC})\)。試選出正確的選項。(1) \(Q\)必落在\(CD\)上
(2) \(S\)必落在\(AC\)上
(3) \(R\)必落在\(\triangle ABC\)內部
(4) \(1 \lt a + b \lt 2\)
(5) \(\triangle ACP\)面積與\(\triangle ACQ\)面積相等
答案
(1)(2)(4)(5)
因\(P\)在\(BC\)上，故\(\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AB} + t \overrightarrow{AD}\)，其中\(0 \lt t \lt 1\)。對照題設\(\overrightarrow{AP}=a\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{AD}\)，得\(a=1\), \(b=t\) (0\lt b\lt1)。
(1)對，\(\overrightarrow{AQ}=b\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\)，係數和\(b+1\gt1\)，且\(AB\)係數小於1，故Q在CD上。
(2)對，計算得\(\overrightarrow{AS}=\frac{a+b}{2}\overrightarrow{AC}\)，係數介於1/2與1之間，故S在AC上。
(3)錯，當b接近1時，R可能落在△ACD中。
(4)對，因a=1, 0\lt b\lt1，故\(1\lt a+b\lt2\)。
(5)對，兩三角形同底AC，且P、Q到AC的距離相等（因係數和相等），故面積相等。
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