<選填題>
已知\(a \gt 1\)，且在坐標平面的第一象限有\(A, B\)兩點分別在\(y = a^x\)及\(y = \log_a x\)上，使得正三角形\(OAB\)的邊長為\(2\sqrt{6} + 2\sqrt{2}\)，其中\(O\)為原點，則\(a = \)______。
答案
\(\sqrt{3}+1\)
由於\(y=a^x\)與\(y=\log_a x\)對稱於直線\(y=x\)，且OAB為正三角形，故OA與OB對稱於\(y=x\)。設OA與x軸正向夾角為75°（因對稱性，兩邊夾角為30°）。則A點坐標可設為\((r\cos75°, r\sin75°)\)，其中\(r=2\sqrt{6}+2\sqrt{2}\)為邊長。A在\(y=a^x\)上，代入得\(a^{r\cos75°} = r\sin75°\)。同時，由對稱性，B點為\((r\sin75°, r\cos75°)\)在\(y=\log_a x\)上。兩式結合，利用三角恆等式及計算可得\(a=\sqrt{3}+1\)。
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