113學測數學A考科_06

平面幾何圖形, 餘弦定理

<單選題>在同一平面上，相距 \(7\) 公里的 \(A \cdot B\) 兩砲臺，\(A\) 在 \(B\) 的正東方。某次演習時，\(A\) 向西偏北 \(\theta\) 方向發射砲彈，\(B\) 則向東偏北 \(\theta\) 方向發射砲彈，其中 \(\theta\) 為銳角，觀測回報兩砲彈皆命中 9 公里外的同一目標 \(P\)。接著 \(A\) 改向西偏北 \(\frac{\theta}{2}\) 方向發射砲彈，彈著點為 \(9\) 公里外的點 \(Q\)。試問砲臺 \(B\) 與彈著點 \(Q\) 的距離 \(BQ\) 為何？
(1) 4 公里
(2) 4.5 公里
(3) 5 公里
(4) 5.5 公里
(5) 6 公里

答案

由對稱性得 \(\cos \theta = \frac{7}{18}\)，則 \(\cos \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}} = \frac{5}{6}\)。
在 \(\triangle ABQ\) 中用餘弦定理：\(BQ^2 = 7^2 + 9^2 - 2 \cdot 7 \cdot 9 \cdot \frac{5}{6} = 25\)，故 \(BQ = 5\) 公里，選(3)。

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