114學測數學A考科_02

三角形, 平面幾何圖形, 數列和級數

<單選題>坐標平面上，\( P(a, 0) \) 為 x 軸上一點，其中 \( a \gt 0 \)。令 \( L_1 \)、\( L_2 \) 為通過 \( P \) 點，斜率分別為 \( -\frac{4}{3} \)、\( -\frac{3}{2} \) 的直線。已知 \( L_1 \)、\( L_2 \) 分別與兩坐標軸圍成的兩個直角三角形的面積差為 3，試問 \( a \) 值為何？
(1) \( 3\sqrt{2} \)
(2) 6
(3) \( 6\sqrt{2} \)
(4) 9
(5) \( 8\sqrt{2} \)

答案

\(L_1\) 與 y 軸交於 \((0,\frac{4}{3}a)\)，面積 \(\frac{1}{2}a\cdot\frac{4}{3}a=\frac{2}{3}a^2\)；
\(L_2\) 與 y 軸交於 \((0,\frac{3}{2}a)\)，面積 \(\frac{1}{2}a\cdot\frac{3}{2}a=\frac{3}{4}a^2\)；
面積差 \(\frac{3}{4}a^2-\frac{2}{3}a^2=\frac{1}{12}a^2=3\)，得 \(a^2=36\)，\(a=6\)，故選(2)。

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