1. 圓的標準方程為\((x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}\)，需判斷點(1,1)是否滿足方程且方程為圓；
2. (1)代入得\((1-1)^{2}+1^{2}=1\)，但(3)是橢圓、(5)是拋物線，排除；
3. (2)代入得\((1-1)^{2}+(1-1)^{2}=0≠1\)，(4)代入得\(1+1=2≠1\)，故(1)符合。答案：(1) \((x-1)^{2}+y^{2}=1\)