<單選題>試選出\(\sum\limits_{k=1}^{5}\log_7\left(\frac{2k-1}{2k+1}\right)\) 的值？
(1) \(\log11 – 2log(2k+1)\)（題目表述修正）
(2) \(\log11\)
(3) \(\log\frac{11}{7}\)
(4) \(-\frac{\log11}{\log7}\)
(5) \(\frac{\log11}{\log7}\)
答案
我們要計算
\[
\sum_{k=1}^5 \log_7 \left( \frac{2k-1}{2k+1} \right)
\]
將各項寫出：
\[
\log_7 \left( \frac{1}{3} \right) + \log_7 \left( \frac{3}{5} \right) + \log_7 \left( \frac{5}{7} \right) + \log_7 \left( \frac{7}{9} \right) + \log_7 \left( \frac{9}{11} \right)
\]
利用對數性質合併：
\[
= \log_7 \left( \frac{1}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{5}{7} \times \frac{7}{9} \times \frac{9}{11} \right)
\]
分子分母相消後得到：
\[
= \log_7 \left( \frac{1}{11} \right) = -\log_7 11
\]
換底公式：
\[
\log_7 11 = \frac{\log 11}{\log 7}
\]
所以結果為：
\[
-\frac{\log 11}{\log 7}
\]
對應選項 (4)。
\[
\boxed{4}
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