<多選題>有一實數數列 \(\lt a_n\gt\)，其中 \(a_n=\cos(n\pi-\frac{\pi}{6})\)，\(n\) 為正整數。試選出正確的選項？
(1) \(a_1=-\frac{1}{2}\)
(2) \(a_2=a_3\)
(3) \(a_4=a_{24}\)
(4) \(\lt a_n\gt \) 為收斂數列，且 \(\lim\limits_{n \to \infty}a_n\lt1\)
(5) \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n)^n=3-2\sqrt{3}\)
答案
1. 化簡 \(a_n=(-1)^n\cos\frac{\pi}{6}=(-1)^n\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\)；
2. (1) \(a_1=-\frac{\sqrt{3}}{2}\neq-\frac{1}{2}\)，錯；
3. (2) \(a_2=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(a_3=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)，不相等，錯；
4. (3) \(a_4=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(a_{24}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，相等，對；
5. (4) 數列交替取 \(\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\)，不收斂，錯；
6. (5) 級數和 = \( \frac{-\sqrt{3}/2}{1 + \sqrt{3}/2} = 3 - 2\sqrt{3} \)。答案：(3)(5) 報錯
ChatGPT DeepSeek
相關試題
