<多選題>已知實係數多項式 \(f(x)\) 的次數大於5，且其最高次項係數為正。又 \(f(x)\) 在 \(x=1、2、4\) 處有極小值，且在 \(x=3、5\) 處有極大值。根據上述，試選出正確的選項？
(1) \(f(1)\lt f(3)\)
(2) 存在實數 \(a,b\) 满足 \(1\lt a\lt b\lt 2\)，使得 \(f'(a)\gt 0\) 且 \(f'(b)\lt 0\)
(3) \(f”(3)\gt 0\)
(4) 存在實數 \(c\gt 5\)，使得 \(f'(c)\gt 0\)
(5) \(f(x)\) 的次數大於7
答案
1. (1) 極小值與極大值無必然大小關係，錯；
2. (2) \(x=1、2\) 是極小值，故 \(f'(x)\) 在 \(1\) 右側正、\(2\) 左側負，存在 \(a,b\) 使 \(f'(a)>0\) 且 \(f'(b)<0\)，對；
3. (3) \(x=3\) 是極大值，故 \(f''(3)<0\)，錯；
4. (4) 最高次項係數正，次數大於5（奇數），\(x\to+\infty\) 時 \(f'(x)\to+\infty\)，故存在 \(c>5\) 使 \(f'(c)>0\)，對；
5. (5) ✓：\( f'(x)=0 \) 至少有 7 個實根 ⇒ \( \deg f(x) \geq 8 \)：(2)(4)(5) 報錯
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