114分科測驗數學甲試卷-08

<多選題>設複數 $z$ 的虛部不為0且 $|z|=2$。已知在複數平面上，$1、z、z^3$ 共線。試選出正確的選項？
(1) $z\cdot\overline{z}=2$
(2) $\frac{z^3-z}{z-1}$ 的虛部為0
(3) $z$ 的實部為 $-\frac{1}{2}$
(4) $z$ 满足 $z^2-z+4=0$
(5) 在複數平面上，$-2、z、z^2$ 共線

答案

(2)(3)(5)
(1) ✗：$ |z|=2 \Rightarrow z\bar{z}=4 $
(2) ✓：三點共線 ⇒ $ \frac{z^3 - z}{z-1} \in \mathbb{R} $
(3) ✓：化簡得 $ z^2+z \in \mathbb{R} $，設 $ z=x+yi $，得 $ x=-\frac{1}{2} $
(4) ✗：$ z^2-z+4=0 $ 的根實部為 $ \frac{1}{2} $，不合
(5) ✓：先解出$z$再利用(2)得$z^2$ ,可推得共線報錯
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試題內容
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