<單選題>坐標空間中有三個彼此互相垂直之向量 \(\overset{\rightharpoonup}{u}\)、\(\overset{\rightharpoonup}{v}\)、\(\overset{\rightharpoonup}{w}\)。已知 \(\overset{\rightharpoonup}{u}-\overset{\rightharpoonup}{v}=(2,-1,0)\)，且 \(\overset{\rightharpoonup}{v}-\overset{\rightharpoonup}{w}=(-1,2,3)\)。試問由 \(\overset{\rightharpoonup}{u}\)、\(\overset{\rightharpoonup}{v}\)、\(\overset{\rightharpoonup}{w}\) 所張出的平行六面體之體積為何？
(1) \(2\sqrt{5}\) (2) \(5\sqrt{2}\) (3) \(2\sqrt{10}\) (4) \(4\sqrt{5}\) (5) \(4\sqrt{10}\)
答案
由三向量垂直，體積為 \(|\overset{\rightharpoonup}{u}||\overset{\rightharpoonup}{v}||\overset{\rightharpoonup}{w}|\)。
設 \(|\overset{\rightharpoonup}{u}|^2+|\overset{\rightharpoonup}{v}|^2+|\overset{\rightharpoonup}{w}|^2=15\)，且由已知向量差求得各向量長平方：\(|\overset{\rightharpoonup}{u}|^2=1\)，\(|\overset{\rightharpoonup}{v}|^2=4\)，\(|\overset{\rightharpoonup}{w}|^2=10\)。
體積 \(=\sqrt{1\cdot4\cdot10}=2\sqrt{10}\)，故選(3)。 報錯
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