<單選題>空間中有一個邊長為1的正立方體，點O為其中一個頂點，其餘7個頂點為A、B、C、D、E、F、G。已知\(\overline{OA}=\overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CD}=\overline{DE}=\overline{EF}=\overline{FG}=1\)且\(\overline{OG}>1\)，試選出距離點O最遠的頂點？
(1) C
(2) D
(3) E
(4) F
(5) G
好的，我們先一步步推理。
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## 1. 題意理解
題目說：
- 空間中有一個邊長為 1 的正立方體。
- 點 \( O \) 是其中一個頂點。
- 其餘 7 個頂點是 \( A, B, C, D, E, F, G \)。
- 已知 \( OA = AB = BC = CD = DE = EF = FG = 1 \) 且 \( OG > 1 \)。
- 問距離 \( O \) 最遠的頂點是哪一個。
這裡關鍵是：
\( OA, AB, BC, CD, DE, EF, FG \) 都是 1，表示這是一條沿立方體邊或空間折線的「路徑」，每一步長度為 1，且每一步都是立方體的某條邊。
但立方體邊長是 1，所以這路徑是沿立方體的邊走，每一步到相鄰頂點。
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## 2. 建立立方體座標
設 \( O = (0,0,0) \)。
立方體頂點集合為：
\[
(0,0,0),\ (1,0,0),\ (0,1,0),\ (0,0,1),\ (1,1,0),\ (1,0,1),\ (0,1,1),\ (1,1,1)
\]
令 \( O = (0,0,0) \)。
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## 3. 推測路徑
已知 \( OA = 1 \) → \( A \) 是與 \( O \) 相鄰的頂點，有三個可能：
\( (1,0,0) \)、\( (0,1,0) \)、\( (0,0,1) \)。
但題目還說 \( OG > 1 \)，而 \( G \) 是最後一個頂點，如果 \( O \) 和 \( G \) 是立方體對角線，則 \( OG = \sqrt{3} \approx 1.732 > 1 \)，所以 \( G \) 應該是 \( (1,1,1) \) 才對。
但 \( G \) 是路徑的最後一個頂點：
\( O \to A \to B \to C \to D \to E \to F \to G \)，每一步是立方體的邊（長度 1）。
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## 4. 檢查路徑唯一性
立方體是對稱的，但 \( OG > 1 \) 表示 \( G \) 與 \( O \) 不是同一點，也不是相鄰點（相鄰距離 1），也不是面對角線（距離 \(\sqrt{2}\) 也大於 1，但題目說 \( OG > 1 \) 其實包括 \(\sqrt{2}\) 和 \(\sqrt{3}\)，但這裡可能是排除 \( OG=1 \) 的情況，所以 \( G \) 不是 \( O \) 的鄰點）。
但 \( G \) 是路徑最後一步 \( FG = 1 \) 到達的，所以 \( G \) 是 \( F \) 的鄰點。
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如果 \( G = (1,1,1) \)，那麼 \( F \) 必須是與 \( (1,1,1) \) 距離 1 的頂點，即 \( (1,1,0) \)、\( (1,0,1) \)、\( (0,1,1) \) 之一。
路徑 \( O \to A \to \dots \to F \to G \) 必須遍歷 8 個頂點各一次（因為是沿立方體邊的哈密頓路徑，且長度 7 條邊，正好訪問全部 8 個頂點一次）。
所以這是一個**哈密頓路徑**，起點 \( O \)，終點 \( G \)，且 \( OG > 1 \)。
## 5. 各頂點到 \( O \) 的距離
- \( O = (0,0,0) \)
- \( A = (1,0,0) \), 距離 \( 1 \)
- \( B = (1,1,0) \), 距離 \( \sqrt{2} \approx 1.414 \)
- \( C = (0,1,0) \), 距離 \( 1 \)
- \( D = (0,1,1) \), 距離 \( \sqrt{2} \)
- \( E = (0,0,1) \), 距離 \( 1 \)
- \( F = (1,0,1) \), 距離 \( \sqrt{2} \)
- \( G = (1,1,1) \), 距離 \( \sqrt{3} \approx 1.732 \)
顯然 \( G \) 最遠。
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## 7. 答案
但題目選項是 (1) C (2) D (3) E (4) F (5) G。
最遠是 \( G \)，所以選 (5)。
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**最終答案：**
\[
\boxed{5}
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