<>18. 已知某人的農地收成時，甲水果每公畝可獲利 6 萬元、乙水果每公畝可獲利 7 萬元。
試 求 某 人 種 植 甲 、 乙 兩 種 水 果 的 最 大 獲 利 為 多 少 萬 元 ？ 在 答 題 卷 求 解 區 寫 出
計 算 過 程，並 在 答 題 卷 作 圖 區 畫 出 可 行 解 區 域 及 標 出 其 所 有 頂 點 坐 標，且 以 斜 線
標 示 該 區 域 。（ 非 選 擇 題 ， 8 分 ）
好的，我們先列出所有條件，再用線性規劃求解。
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## **1. 列出限制條件**
題目給定：
1. \( x \le 15 \)
2. \( x + y \le 24 \)
3. \( x \le 3y \) 且 \( y \le 2x \)
4. \( x \ge 0, \quad y \ge 0 \) （面積不能為負）
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## **2. 化簡條件 3**
條件 3 拆開：
\[
x \le 3y \quad \Rightarrow \quad y \ge \frac{x}{3}
\]
\[
y \le 2x
\]
所以：
\[
\frac{x}{3} \le y \le 2x
\]
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## **3. 聯立所有條件**
我們有：
\[
\begin{cases}
0 \le x \le 15 \\
x + y \le 24 \\
y \ge \frac{x}{3} \\
y \le 2x
\end{cases}
\]
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## **4. 找可行解區域的頂點**
**(1) 交點 \(x=15\) 與 \(x+y=24\)**
\(y = 9\)
檢查 \(y \ge \frac{15}{3} = 5\) ✅
檢查 \(y \le 2\times 15 = 30\) ✅
⇒ 頂點 \(A = (15, 9)\)
**(2) 交點 \(x=15\) 與 \(y=2x\)**
\(y = 30\)，但 \(x+y = 45 > 24\) 不行，所以此點不在 \(x+y \le 24\) 內，不考慮。
**(3) 交點 \(x+y=24\) 與 \(y=2x\)**
代入：\(x + 2x = 24 \Rightarrow 3x = 24 \Rightarrow x=8, y=16\)
檢查 \(x \le 15\) ✅
檢查 \(y \ge \frac{8}{3} \approx 2.67\) ✅
⇒ 頂點 \(B = (8, 16)\)
**(4) 交點 \(x+y=24\) 與 \(y = \frac{x}{3}\)**
代入：\(x + \frac{x}{3} = 24 \Rightarrow \frac{4x}{3} = 24 \Rightarrow x = 18\)
但 \(x=18 > 15\)，所以此交點不在 \(x \le 15\) 內，不考慮。
**(5) 交點 \(x=15\) 與 \(y = \frac{x}{3}\)**
\(y = 5\)，檢查 \(x+y = 20 \le 24\) ✅
⇒ 頂點 \(C = (15, 5)\)
**(6) 交點 \(y = \frac{x}{3}\) 與 \(y = 2x\)**
只有 \(x=0, y=0\)，但那是原點 \(O=(0,0)\)。
**(7) 交點 \(y=2x\) 與 \(x=0\)**
\( (0,0) \) 重複。
**(8) 交點 \(x=0\) 與 \(y=0\)** 原點。
但原點利潤最低，顯然不是最大。
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我們還要檢查 \(x+y=24\) 與 \(x=15\) 之間是否還有其他頂點受 \(y \ge x/3\) 與 \(y \le 2x\) 限制。
實際上，在 \(x=15\) 時，\(y\) 範圍是 \(5 \le y \le 9\)（因為 \(x+y \le 24 \Rightarrow y \le 9\)，且 \(y \ge 5\) 來自 \(y \ge x/3\)）。
所以 \(x=15\) 邊上兩個端點：\((15,5)\) 和 \((15,9)\) 已取。
在 \(x<15\) 時，最大 \(y\) 受 \(x+y=24\) 與 \(y \le 2x\) 限制，交點是 \(B=(8,16)\)。
檢查 \(y \ge x/3\)：\(16 \ge 8/3\) ✅。
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所以主要頂點為：
\[
O=(0,0), \quad C=(15,5), \quad A=(15,9), \quad B=(8,16)
\]
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## **5. 目標函數**
利潤：
\[
P = 6x + 7y \ (\text{萬元})
\]
代入：
- \(O\): \(P=0\)
- \(C=(15,5)\): \(P=6\times 15 + 7\times 5 = 90+35=125\)
- \(A=(15,9)\): \(P=90+63=153\)
- \(B=(8,16)\): \(P=48+112=160\)
最大利潤在 \(B=(8,16)\)，\(P=160\) 萬元。
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## **6. 檢查是否還有更大點**
在 \(x+y=24\) 上，\(y=24-x\)，
\(P=6x+7(24-x) = 168 - x\)，隨 \(x\) 減小而增大，但必須滿足 \(y \le 2x \Rightarrow 24-x \le 2x \Rightarrow 24 \le 3x \Rightarrow x \ge 8\)，
且 \(y \ge x/3 \Rightarrow 24-x \ge x/3 \Rightarrow 72-3x \ge x \Rightarrow 72 \ge 4x \Rightarrow x \le 18\)（但 \(x \le 15\) 更嚴格）。
所以 \(x\) 範圍 \(8 \le x \le 15\) 在 \(x+y=24\) 上。
\(P=168-x\) 在 \(x=8\) 最大 \(160\)，在 \(x=15\) 時 \(153\)。
所以 \(B\) 點確實最大。
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**最終答案：**
\[
\boxed{160}
\]
最大利潤 160 萬元，此時 \(x=8\) 公畝，\(y=16\) 公畝。 報錯
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