114分科測驗數學甲試卷-15

<非選擇題（題組）>設實係數多項式函數 \(f(x)=3ax^2+(1-a)\)，其中 \(-\frac{1}{2}\leq a\leq1\)。在坐標平面上，令 \(\Gamma\) 為 \(y=f(x)\) 與 \(x\) 軸在 \(-1\leq x\leq1\) 所圍的區域。問題15：證明當 \(-1\leq x\leq1\) 時，\(f(x)\geq0\) 皆成立。

答案

1. 當 \(a=0\) 時，\(f(x)=1\geq0\)；
2. 當 \(a>0\) 時，\(f(x)\) 開口向上，最小值在 \(x=0\)，\(f(0)=1-a\)，由 \(a\leq1\) 得 \(1-a\geq0\)；
3. 當 \(a<0\) 時，\(f(x)\) 開口向下，最大值在端點，\(f(\pm1)=3a+1-a=2a+1\)，由 \(a\geq-\frac{1}{2}\) 得 \(2a+1\geq0\)，故 \(f(x)\geq0\)。答案：證明如上，\(f(x)\geq0\) 在 \(-1\leq x\leq1\) 成立報錯
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