<非選擇題>問題17：令 \(V\) 為 \(\Gamma\) 繞 \(x\) 軸旋轉所得旋轉體的體積。試問對所有 \(a\in[-\frac{1}{2},1],V\) 是否都相等？若相等，求其值；若不相等，求 \(V\) 最大值及對應 \(a\)。
答案
1. 體積 \(V=\pi\int_{-1}^{1}[f(x)]^2dx=\pi\int_{-1}^{1}[9a^2x^4+6a(1-a)x^2+(1-a)^2]dx\)；
2. 計算得 \(V=\pi\left(\frac{18}{5}a^2+\frac{4}{3}a(1-a)+2(1-a)^2\right)=2\pi(\frac{4}{5}a^2+1)\)， \(-\frac{1}{2}\le a\le1\) 有關；
3. 化簡為二次函數，求 \(a\in[-\frac{1}{2},1]\) 最值，畫圖得 \(a=1\) 時 \(V\) 最大，值為 \(\frac{18\pi}{5}\)。答案：不相等，\(a=-\frac{1}{2}\) 時最大值 \(\frac{18\pi}{5}\)
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