114學測數學A考科_16

圓的角度與弦弧, 圓與直線, 數線概念

<選填題>坐標平面上，設 \(L_1\)、\(L_2\) 為通過點 \((3, 1)\) 且斜率分別為 \(m\)、\(-m\) 的兩條直線，其中 \(m\) 為一實數。另設 \(\Gamma\) 為圓心在原點的一個圓。已知 \(\Gamma\) 與 \(L_1\) 交於相異兩點 \(A\)、\(B\)，且知圓心到 \(L_1\) 的距離為 1，又 \(\Gamma\) 與 \(L_2\) 相切，則弦 \(\overline{AB}\) 的長度為 __________。（化為最簡分數）

答案

圓 \(\Gamma: x^2+y^2=r^2\)，\(L_1: mx-y-3m+1=0\)，圓心到 \(L_1\) 距離為 1 得 \(m=\frac{3}{4}\)。
代入 \(L_2\) 與圓相切得 \(r=\frac{13}{5}\)，弦長 \(\overline{AB}=2\sqrt{r^2-1^2}=\frac{24}{5}\)。

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