<選填題>在坐標空間中，設\(O\)為原點，且點\(P\)為三平面\(x – 3y – 5z = 0\)、\(x – 3y + 2z = 0\)、\(x + y = t\)的交點，其中\(t\gt0\)。若\(\vert\overrightarrow{OP}\vert = 10\)，則\(t=\underline{ (9) }\sqrt{ (10)(11) }\)。(化成最簡根式)
答案
先求平面\(x - 3y - 5z = 0\)與\(x - 3y + 2z = 0\)的交線方程，兩式相減得\(-7z = 0\)，即\(z = 0\)，代入\(x - 3y - 5z = 0\)得\(x = 3y\)。
再將\(x = 3y\)，\(z = 0\)代入\(x + y = t\)，得\(3y + y = t\)，\(4y = t\)，\(y=\frac{t}{4}\)，\(x=\frac{3t}{4}\)。
所以點\(P\)的坐標為\((\frac{3t}{4},\frac{t}{4},0)\)。
由\(\vert\overrightarrow{OP}\vert = 10\)，\(\sqrt{(\frac{3t}{4})^{2}+(\frac{t}{4})^{2}+0^{2}} = 10\)，\(\sqrt{\frac{9t^{2}+t^{2}}{16}} = 10\)，\(\sqrt{\frac{10t^{2}}{16}} = 10\)，\(\frac{\sqrt{10}}{4}\vert t\vert = 10\)，因為\(t\gt0\)，所以\(t = 4\sqrt{10}\) 。（原題答案格式中的空缺部分需按正確答案\(4\sqrt{10}\)對應填寫，即\(t = 4\sqrt{10}\)，\(4\)填在(9)，\(10\)填在(10)，(11)無值 ） 報錯
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