<單選題>在坐標平面上，其\(x\)坐標與\(y\)坐標都是整數的點稱為「格子點」。試問滿足方程式\(\log _{2}(x – 1)=\log _{4}(25 – y^{2})\)的格子點\((x,y)\)共有幾個？
(1)4個
(2)5個
(3)6個
(4)8個
(5)12個
由換底公式\(\log _{4}(25 - y^{2})=\frac{\log _{2}(25 - y^{2})}{\log _{2}4}=\frac{1}{2}\log _{2}(25 - y^{2})\)。
原方程\(\log _{2}(x - 1)=\log _{4}(25 - y^{2})\)可化為\(2\log _{2}(x - 1)=\log _{2}(25 - y^{2})\)，即\(\log _{2}(x - 1)^{2}=\log _{2}(25 - y^{2})\)。
所以\((x - 1)^{2}=25 - y^{2}\)，整理得\((x - 1)^{2}+y^{2}=25\)。
因為\(x,y\)是整數，且\((x - 1)^{2}\geq0\)，\(y^{2}\geq0\)，所以有：
當\((x - 1)^{2}=0\)時，\(y^{2}=25\)，即\(x = 1\)，\(y=\pm5\)；
当\((x - 1)^{2}=1\)时，\(y^{2}=24\)（\(y\)不是整数，舍去）；
当\((x - 1)^{2}=4\)时，\(y^{2}=21\)（\(y\)不是整数，舍去）；
当\((x - 1)^{2}=9\)时，\(y^{2}=16\)，即\(x = 4\)或\(x=-2\)，\(y=\pm4\)；
当\((x - 1)^{2}=16\)时，\(y^{2}=9\)，即\(x = 5\)或\(x=-3\)，\(y=\pm3\)；
当\((x - 1)^{2}=25\)时，\(y^{2}=0\)，即\(x = 6\)或\(x=-4\)，\(y = 0\)。
综上，满足方程的格子点有\((1,5),(1, - 5),(4,4),(4, - 4),(-2,4),(-2, - 4),(5,3),(5, - 3),(-3,3),(-3, - 3),(6,0),(-4,0)\)，共12个，答案为(5)。 報錯
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