<多選題>設\(a,b,c\)為三實數，且\(a>b>c\)。已知\(2^{a},2^{b},2^{c}\)三數依序成等差數列。試選出正確的選項。
(1) \(a,b,c\)三數依序成等比數列
(2) \(2a + 100,2b + 100,2c + 100\)三數依序成等差數列
(3) \(4^{a},4^{b},4^{c}\)三數依序成等差數列
(4) \(a\lt b + 1\)
(5) \(b \geq \frac{a + c}{2}\)
(1)因為\(2^{a},2^{b},2^{c}\)成等差數列，所以\(2\times2^{b}=2^{a}+2^{c}\)，即\(2^{b + 1}=2^{a}+2^{c}\) ，不能推出\(b^{2}=ac\)，所以\(a,b,c\)不一定成等比數列，(1)錯誤。
(2)若\(2a + 100,2b + 100,2c + 100\)成等差數列，則\(2(2b + 100)=(2a + 100)+(2c + 100)\)，化簡得\(2b=a + c\) 。由\(2^{a},2^{b},2^{c}\)成等差得\(2^{b + 1}=2^{a}+2^{c}\)，根據均值不等式\(2^{a}+2^{c}>2\sqrt{2^{a}\times2^{c}} = 2\times2^{\frac{a + c}{2}}\)，即\(2^{b + 1}>2\times2^{\frac{a + c}{2}}\)，可得\(b + 1>\frac{a + c}{2}\)，又\(2^{b + 1}=2^{a}+2^{c}\)，移項可得\(2\times2^{b}-2^{a}-2^{c}=0\)，假設\(a=m + d\)，\(b=m\)，\(c=m - d\)（\(d>0\)）代入\(2\times2^{b}-2^{a}-2^{c}=0\)得\(2\times2^{m}-2^{m + d}-2^{m - d}=0\)，化簡得\(2 - 2^{d}-2^{-d}=0\)，令\(t = 2^{d}(t>1)\)，\(2 - t-\frac{1}{t}=0\)，\(2t - t^{2}-1 = 0\)，\(t^{2}-2t + 1 = 0\)，\((t - 1)^{2}=0\)，\(t = 1\)矛盾，所以\(2b=a + c\)，即\(2a + 100,2b + 100,2c + 100\)成等差數列，(2)正確。
(3)若\(4^{a},4^{b},4^{c}\)成等差數列，則\(2\times4^{b}=4^{a}+4^{c}\)，即\(2\times2^{2b}=2^{2a}+2^{2c}\)，由\(2^{b + 1}=2^{a}+2^{c}\)平方得\(2^{2b + 2}=2^{2a}+2\times2^{a + c}+2^{2c}\)，與\(2\times2^{2b}=2^{2a}+2^{2c}\)不同，所以\(4^{a},4^{b},4^{c}\)不成等差數列，(3)錯誤。
(4)由\(2^{b + 1}=2^{a}+2^{c}\)，根據均值不等式\(2^{a}+2^{c}>2\sqrt{2^{a}\times2^{c}} = 2\times2^{\frac{a + c}{2}}\)，可得\(2^{b + 1}>2\times2^{\frac{a + c}{2}}\)，即\(b + 1>\frac{a + c}{2}\)，又\(a>b>c\)，所以\(a - b>0\)，\(2^{b + 1}-2^{a}-2^{c}=0\)，\(2^{b + 1}-2^{a}=2^{c}>0\)，\(2^{b + 1}>2^{a}\)，\(b + 1>a\)不恆成立，比如\(a = 3\)，\(b = 2\)，\(c = 1\)時不滿足，(4)錯誤。
(5)由\(2^{b + 1}=2^{a}+2^{c}\)，根據均值不等式\(2^{a}+2^{c}\geq2\sqrt{2^{a}\times2^{c}} = 2\times2^{\frac{a + c}{2}}\)，即\(2^{b + 1}\geq2\times2^{\frac{a + c}{2}}\)，可得\(b + 1\geq\frac{a + c}{2}\)，移項得\(b\geq\frac{a + c}{2}-1\)，不一定有\(b \geq \frac{a + c}{2}\)，(5)錯誤。答案為(2)。 報錯
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