<單選題>設\(n\)為正整數。第\(n\)個費馬數（Fermat Number ）定義為\(F_{n}=2^{(2^{n})}+1\)，例如\(F_{1}=2^{(2^{1})}+1=2^{2}+1 = 5\)，\(F_{2}=2^{(2^{2})}+1=2^{4}+1 = 17\)。試問\(\frac{F_{13}}{F_{12}}\)的整數部分以十進位表示時，其位數最接近下列哪一個選項？（\(\log 2 ≈0.3010\) ）
(1)120
(2)240
(3)600
(4)900
(5)1200
答案
已知\(F_{n}=2^{(2^{n})}+1\)，則\(\frac{F_{13}}{F_{12}}=\frac{2^{2^{13}} + 1}{2^{2^{12}}+1}\)。
因為\(2^{2^{13}}=2^{2^{12}\times2}=(2^{2^{12}})^2\)，當\(x\)很大時，\(\frac{2^{2^{13}} + 1}{2^{2^{12}}+1}\approx\frac{2^{2^{13}}}{2^{2^{12}}}=2^{2^{13}-2^{12}}=2^{2^{12}(2 - 1)}=2^{2^{12}}\)。
設\(N = 2^{2^{12}}\)，對其取常用對數\(\log N=\log(2^{2^{12}})=2^{12}\log 2\)。
\(2^{12}=4096\)，\(\log N = 4096\times0.3010\approx1233\)。
根據數的位數公式，若\(\log N = n + d\)（\(n\)為整數，\(0\leq d<1\)），則\(N\)的位數是\(n + 1\)，所以\(2^{2^{12}}\)的位數約為\(1233 + 1 = 1234\)，最接近1200。
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