<多選題>坐標平面上以原點\(o\)為圓心的單位圓上三相異點\(A\)、\(B\)、\(C\)滿足\(2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}+4\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\)，其中\(A\)點的坐標為\((1, 0)\)。試選出正確的選項。
(1)向量\(2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}\)的長度為4
(2)內積\(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}<0\)
(3)\(\angle BOC\)，\(\angle AOC\)，\(\angle AOB\)中，以\(\angle BOC\)的度數為最小
(4)\(\overline{AB}>\frac{3}{2}\)
(5)\(3\sin\angle AOB = 4\sin\angle AOC\)
(1) 已知\(2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}+4\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\)，移項得\(2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}=-4\overrightarrow{OC}\)。
兩邊取模，\(\vert2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}\vert=\vert -4\overrightarrow{OC}\vert\)，因為\(\vert\overrightarrow{OC}\vert = 1\)（單位圓上的點到原點距離為1），所以\(\vert2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}\vert = 4\)，(1)正確。
(2) 由\(2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}+4\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\)可得\(2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}=-4\overrightarrow{OC}\)，兩邊平方得\(4\overrightarrow{OA}^{2}+12\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}+9\overrightarrow{OB}^{2}=16\overrightarrow{OC}^{2}\)。
又\(\vert\overrightarrow{OA}\vert=\vert\overrightarrow{OB}\vert=\vert\overrightarrow{OC}\vert = 1\)，則\(4 + 12\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}+9 = 16\)，解得\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\frac{1}{4}>0\)，(2)錯誤。
(3) 由\(2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}+4\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\)可得\(2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}=-4\overrightarrow{OC}\) ，\(2\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OC}=-3\overrightarrow{OB}\)，\(3\overrightarrow{OB}+4\overrightarrow{OC}=-2\overrightarrow{OA}\)。
分別對這三個式子兩邊平方，再利用向量數量積公式\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow{b}\vert\cos\theta\)（\(\theta\)為\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow{b}\)的夾角），可得\(\cos\angle AOB=\frac{1}{4}\)，\(\cos\angle AOC=-\frac{1}{8}\)，\(\cos\angle BOC=-\frac{11}{24}\)。
因為\(\cos\)函數在\([0,\pi]\)上單調遞減，且\(\vert-\frac{11}{24}\vert<\vert-\frac{1}{8}\vert\)，所以\(\angle BOC\)最小，(3)正確。
(4) 已知\(A(1,0)\)，\(\overrightarrow{OA}=(1,0)\)，由\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\frac{1}{4}\)，\(\vert\overrightarrow{OA}\vert = 1\)，\(\vert\overrightarrow{OB}\vert = 1\)，根據向量模長公式\(\vert\overrightarrow{AB}\vert=\sqrt{(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})^{2}}=\sqrt{\overrightarrow{OB}^{2}+\overrightarrow{OA}^{2}-2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}}=\sqrt{1 + 1 - 2\times\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{6}}{2}>\frac{3}{2}\)，(4)正確。
(5) 由\(2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}+4\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\)，根據正弦定理\(\frac{\vert\overrightarrow{OA}\vert}{\sin\angle BOC}=\frac{\vert\overrightarrow{OB}\vert}{\sin\angle AOC}=\frac{\vert\overrightarrow{OC}\vert}{\sin\angle AOB}\)，可得\(3\sin\angle AOB = 4\sin\angle AOC\)，(5)正確。
答案為(1)(3)(4)(5)。 報錯
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