<多選題>坐標平面上以原點\(o\)為圓心的單位圓上三相異點\(A\)、\(B\)、\(C\)滿足\(2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}+4\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\)，其中\(A\)點的坐標為\((1, 0)\)。試選出正確的選項。
(1)向量\(2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}\)的長度為4
(2)內積\(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}<0\)
(3)\(\angle BOC\)，\(\angle AOC\)，\(\angle AOB\)中，以\(\angle BOC\)的度數為最小
(4)\(\overline{AB}>\frac{3}{2}\)
(5)\(3\sin\angle AOB = 4\sin\angle AOC\)
(1)(5)
解：因為 \( 2\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB} + 4\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0} \)，所以三向量恰可構成一邊長為 \( 2,3,4 \) 的 \( \triangle PQR \)，如圖所示。
(1) 由 \( 2\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB} = -4\overrightarrow{OC} \)，兩邊取絕對值得：
\[
\left| 2\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB} \right| = \left| -4\overrightarrow{OC} \right| = 4 \times 1 = 4
\]
(2) 在 \( \triangle PQR \) 中，利用餘弦定理計算 \( \cos\angle P \)：
\[
\cos\angle P = \frac{2^2 + 3^2 - 4^2}{2 \times 2 \times 3} = \frac{4 + 9 - 16}{12} = -\frac{1}{4} < 0
\]
故 \( \angle P \) 為鈍角。
又 \( \overrightarrow{OA} \) 與 \( \overrightarrow{OB} \) 的夾角為 \( 180^\circ - \angle P \)，因此：
\[
\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \left| \overrightarrow{OA} \right| \left| \overrightarrow{OB} \right| \cos(180^\circ - \angle P) = 1 \times 1 \times (-\cos\angle P) = -\left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{4} > 0
\]
即 \( \overrightarrow{OA} \) 與 \( \overrightarrow{OB} \) 的夾角為銳角。
(3) 在 \( \triangle PQR \) 中，邊長越小對應的內角越小，故最小邊 \( \overline{QR} \) 所對的 \( \angle Q \) 是三內角中的最小角。
又 \( \angle BOC = 180^\circ - \angle Q \)、\( \angle AOC = 180^\circ - \angle R \)、\( \angle AOB = 180^\circ - \angle P \)，因此 \( \angle BOC \) 是這三個角中最大的角。
(4) 因為 \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} \)，所以：
\[
\left| \overrightarrow{AB} \right|^2 = \left| \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} \right|^2 = \left| \overrightarrow{OB} \right|^2 - 2\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OA} + \left| \overrightarrow{OA} \right|^2
\]
代入 \( \left| \overrightarrow{OA} \right| = \left| \overrightarrow{OB} \right| = 1 \) 及 \( \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OA} = \frac{1}{4} \)：
\[
\left| \overrightarrow{AB} \right|^2 = 1^2 - 2 \times 1 \times 1 \times \frac{1}{4} + 1^2 = 1 - \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}
\]
故 \( \left| \overrightarrow{AB} \right| = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2} \)。
(5) 在 \( \triangle PQR \) 中，利用正弦定理：
\[
\frac{QR}{\sin\angle P} = \frac{PR}{\sin\angle R} \implies \frac{3}{\sin\angle P} = \frac{4}{\sin\angle R} \implies 3\sin\angle P = 4\sin\angle R
\]
又 \( \sin\angle AOB = \sin(180^\circ - \angle P) = \sin\angle P \)，\( \sin\angle AOC = \sin(180^\circ - \angle R) = \sin\angle R \)，因此：
\[
3\sin\angle AOB = 4\sin\angle AOC
\]
故選 \( \boxed{(1)(5)} \)。
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