<選填題>在坐標平面上，\(A(a, r)\)、\(B(b, s)\)為函數圖形\(y=\log _{2}x\)上之兩點，其中\(a\lt b\)。已知\(A\)、\(B\)連線的斜率等於2，且線段\(\overline{AB}\)的長度為\(\sqrt{5}\)，則\((a, b)=\)( _____， _____) （化成最簡分數）。
答案
已知\(A(a,\log _{2}a)\)，\(B(b,\log _{2}b)\)，根據斜率公式\(k=\frac{\log _{2}b-\log _{2}a}{b - a}=2\)，即\(\log _{2}\frac{b}{a}=2(b - a)\)。
由距離公式\(\sqrt{(b - a)^{2}+(\log _{2}b-\log _{2}a)^{2}}=\sqrt{5}\)，把\(\log _{2}\frac{b}{a}=2(b - a)\)代入得\(\sqrt{(b - a)^{2}+4(b - a)^{2}}=\sqrt{5}\)。
即\(\sqrt{5(b - a)^{2}}=\sqrt{5}\)，\((b - a)^{2}=1\)，又\(a\lt b\)，所以\(b - a = 1\)，即\(b=a + 1\)。
將\(b=a + 1\)代入\(\log _{2}\frac{b}{a}=2(b - a)\)，得\(\log _{2}\frac{a + 1}{a}=2\)，即\(\frac{a + 1}{a}=4\)，解得\(a=\frac{1}{3}\)，\(b=\frac{4}{3}\)。
所以\((a, b)=(\frac{1}{3},\frac{4}{3})\) 。 報錯
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