<非選擇題>設\(f(x)\)為實係數多項式函數，且\(xf(x)=3x^{4}-2x^{3}+x^{2}+\int_{1}^{x}f(t)dt\)（\(x\geq1\)）。試證明恰有一個大於1的正實數\(a\)滿足\(\int_{0}^{a}f(x)dx = 1\)。(4分)
答案
由(3)知\(f(x)=4x^{3}-3x^{2}+2x - 1\)，則\(\int_{0}^{a}f(x)dx=\int_{0}^{a}(4x^{3}-3x^{2}+2x - 1)dx\)。
\(\int_{0}^{a}(4x^{3}-3x^{2}+2x - 1)dx=(x^{4}-x^{3}+x^{2}-x)\big|_{0}^{a}=a^{4}-a^{3}+a^{2}-a\)。
令\(g(a)=a^{4}-a^{3}+a^{2}-a - 1\)（\(a>1\)）。
對\(g(a)\)求導得\(g'(a)=4a^{3}-3a^{2}+2a - 1\)。
當\(a>1\)時，\(4a^{3}-3a^{2}+2a - 1=a^{2}(4a - 3)+2a - 1>0\)，所以\(g(a)\)在\((1,+\infty)\)上單調遞增。
又\(g(1)=1^{4}-1^{3}+1^{2}-1 - 1=-1<0\) ，\(\lim_{a\rightarrow+\infty}g(a)=+\infty\)。
根據零點存在定理，在單調遞增函數中，當函數在某區間兩端點函數值異號時，函數在該區間內有且只有一個零點。
所以恰有一個大於1的正實數\(a\)，使得\(g(a)=0\)，即恰有一個大於1的正實數\(a\)滿足\(\int_{0}^{a}f(x)dx = 1\)。
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