107指考數學甲試題-05

已知\(P(a,b)\)，\(Q(c,d)\)在\(y=\log _{2}x\)上，所以\(b=\log _{2}a\)，\(d=\log _{2}c\)。
因為\(\overline{PQ}\)的中點在\(x\)軸上，中點坐標為\((\frac{a + c}{2},\frac{b + d}{2})\)，所以\(b + d = 0\)，即\(\log _{2}a+\log _{2}c = 0\)。
根據對數運算法則\(\log _{2}a+\log _{2}c=\log _{2}(ac)=0\)，可得\(ac = 1\)，(3)正確。
\(b + d = 0\)，即\(b=-d\)，所以\(bd=-b^{2}\lt0\)，又因為\(b\neq0\)（若\(b = 0\)，則\(a = 1\)，此時只有一個交點），所以\(bd=-1\)，(2)正確。
設直線\(L\)的斜率為\(k\)，\(k=\frac{d - b}{c - a}=\frac{-2b}{c - a}\)，由於\(ac = 1\)，不妨設\(a=\frac{1}{t}\)，\(c = t\)（\(t\gt0\)且\(t\neq1\)），\(b=\log _{2}\frac{1}{t}=-\log _{2}t\)，\(d=\log _{2}t\)，\(k=\frac{2\log _{2}t}{t-\frac{1}{t}}\)，當\(t\gt1\)時，\(k\gt0\)；當\(0\lt t\lt1\)时，\(k\lt0\)，(1)錯誤。
设直线\(L\)的方程为\(y=mx + n\)，将\(P(a,b)\)，\(Q(c,d)\)代入可得\(\begin{cases}b = ma + n\\d = mc + n\end{cases}\)，两式相减得\(b - d=m(a - c)，m=\frac{b - d}{a - c}\)，再将\(b=-d\)代入得\(m=\frac{-2d}{a - c}\)。把\(d=\log _{2}c\)，\(a=\frac{1}{c}\)代入得\(m=\frac{-2\log _{2}c}{\frac{1}{c}-c}\)。
令\(x = 0\)，\(y=n\)，\(n=b - ma=\log _{2}a-\frac{-2\log _{2}c}{\frac{1}{c}-c}\times a\)，当\(a\)，\(c\)取值不同时，\(n\)不一定大于\(1\)，(4)错误。
令\(y = 0\)，\(0=mx + n\)，\(x=-\frac{n}{m}\)，同样当\(a\)，\(c\)取值不同时，\(x\)不一定大于\(1\)，(5)错误。
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