<多選題>已知複數\(z\)滿足\(z^{n}+z^{-n}+2 = 0\)，其中\(n\)為正整數。將\(z\)用極式表示為\(r(\cos\theta+i\sin\theta)\)，且\(r\gt0\)。試選出正確的選項。
(1)\(r = 1\)
(2)\(n\)不能是偶數
(3)對給定的\(n\)，恰有\(2n\)個不同的複數\(z\)滿足題設
(4)\(\theta\)可能是\(\frac{3\pi}{7}\)
(5)\(\theta\)可能是\(\frac{4\pi}{7}\)
由\(z = r(\cos\theta+i\sin\theta)\)，則\(z^{-n}=\frac{1}{z^{n}}=\frac{1}{r^{n}(\cos n\theta+i\sin n\theta)}=\frac{1}{r^{n}}[\cos(-n\theta)+i\sin(-n\theta)]\)。
已知\(z^{n}+z^{-n}+2 = 0\)，即\(r^{n}(\cos n\theta+i\sin n\theta)+\frac{1}{r^{n}}(\cos(-n\theta)+i\sin(-n\theta))+2 = 0\)。
整理得\((r^{n}+\frac{1}{r^{n}})\cos n\theta+2 + i[(r^{n}-\frac{1}{r^{n}})\sin n\theta]=0\)，所以\(\begin{cases}(r^{n}+\frac{1}{r^{n}})\cos n\theta+2 = 0\\(r^{n}-\frac{1}{r^{n}})\sin n\theta = 0\end{cases}\)。
由\((r^{n}-\frac{1}{r^{n}})\sin n\theta = 0\)，若\(\sin n\theta\neq0\)，則\(r^{n}-\frac{1}{r^{n}} = 0\)，即\(r^{2n}=1\)，又\(r\gt0\)，所以\(r = 1\)；若\(\sin n\theta = 0\)，代入\((r^{n}+\frac{1}{r^{n}})\cos n\theta+2 = 0\)，\(r^{n}+\frac{1}{r^{n}}\gt0\)，\(\cos n\theta\in[-1,1]\)，方程不成立，所以\(r = 1\)，(1)正確。
由\(z^{n}=-1\)（\(r = 1\)時），\(z = \cos\frac{(2k + 1)\pi}{n}+i\sin\frac{(2k + 1)\pi}{n}\)，\(k = 0,1,\cdots,n - 1\)，恰有\(n\)個不同的複數\(z\)滿足題設，(3)錯誤。
由\(z^{n}=-1=\cos\pi+i\sin\pi\)，\(z=\cos\frac{(2k + 1)\pi}{n}+i\sin\frac{(2k + 1)\pi}{n}\)，若\(\theta=\frac{3\pi}{7}\)，則\(\frac{(2k + 1)\pi}{n}=\frac{3\pi}{7}\)，\(14k + 7 = 3n\)，\(n=\frac{14k + 7}{3}\)，當\(k = 1\)時，\(n = 7\)，成立；若\(\theta=\frac{4\pi}{7}\)，則\(\frac{(2k + 1)\pi}{n}=\frac{4\pi}{7}\)，\(14k + 7 = 4n\)，\(n=\frac{14k + 74}{4}\)，\(k\)取整數時\(n\)不是整數，不成立，(4)正確，(5)錯誤。
由(4)可推出(2)(3)選項
答案為(1)(4)。 報錯
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