<多選題>設實係數三次多項式\(f(x)\)的首項係數為正。已知\(y = f(x)\)的圖形和直線\(y = g(x)\)在\(x = 1\)相切，且兩圖形只有一個交點。試選出正確的選項。
(1)\(f(1)=g(1)\)
(2)\(f^{\prime}(1)=g^{\prime}(1)\)
(3)\(f^{\prime\prime}(1)=0\)
(4)存在實數\(a\neq1\)使得\(f^{\prime}(a)=g^{\prime}(a)\)
(5)存在實數\(a\neq1\)使得\(f^{\prime\prime}(a)=g^{\prime\prime}(a)\)
答案
若兩函數\(y = f(x)\)與\(y = g(x)\)在\(x = 1\)相切，根據切線的性質，則\(f(1)=g(1)\)且\(f^{\prime}(1)=g^{\prime}(1)\)，(1)(2)正確。
由(1)(2)$先令p(x)=f(x)-g(x)~~(\mathrm{deg}p(x)=3且領導係數\gt0\\
\because p(1)=0=p'(1)\Rightarrow 圖形單調遞增\therefore (1,p(1))為y=p(x)圖形反曲點\\
p''(1)=0,\therefore f''(1)=0)$，(3)正確。
假設\(f(x)=x^{3}\)，\(g(x)=3x - 2\)，\(f^{\prime}(x)=3x^{2}\)，\(g^{\prime}(x)=3\)，\(f^{\prime}(1)=g^{\prime}(1)=3\)，且\(f(x)\)與\(g(x)\)只有一個交點\(x = 1\)，但不存在\(a\neq1\)使得\(f^{\prime}(a)=g^{\prime}(a)\)，(4)錯誤。
同理，不能得出存在實數\(a\neq1\)使得\(f^{\prime\prime}(a)=g^{\prime\prime}(a)\)，(5)錯誤。
答案為(1)(2)。 報錯
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