<選填題>坐標平面上，\(x\)坐標與\(y\)坐標均為整數的點稱為格子點。令\(n\)為正整數，\(T_n\)為平面上以直線\(y=\frac{-1}{2n}x + 3\)，以及\(x\)軸、\(y\)軸所圍成的三角形區域（包含邊界），而\(a_n\)為\(T_n\)上的格子點數目，則\(\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{n}=\)____。
答案
設 \( A(6n, 0) \)、\( B(0, 3) \)，直線 \( AB \) 的方程為 \( y = -\frac{1}{2n}x + 3 \)，\( T_n \) 是 \( \triangle OAB \) 內部（含邊界）的區域。
統計 \( T_n \) 內整數點的個數 \( a_n \)：
- 當 \( y=0 \) 時，\( x \) 可取 \( 0 \sim 6n \)，共 \( 6n+1 \) 個點；
- 當 \( y=1 \) 時，代入直線方程得 \( x \leq 4n \)，故 \( x \) 可取 \( 0 \sim 4n \)，共 \( 4n+1 \) 個點；
- 當 \( y=2 \) 時，代入得 \( x \leq 2n \)，故 \( x \) 可取 \( 0 \sim 2n \)，共 \( 2n+1 \) 個點；
- 當 \( y=3 \) 時，僅有 \( (0, 3) \)，共 \( 1 \) 個點。
因此：
\[
a_n = (6n+1) + (4n+1) + (2n+1) + 1 = 12n + 4
\]
求極限：
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{12n + 4}{n} = 12
\]
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