<選填題>坐標空間中，平面\(ax + by + cz = 0\)與平面\(x = 0\)、\(x+\sqrt{3}y = 0\)的夾角（介於\(0^{\circ}\)到\(90^{\circ}\)之間）都是\(60^{\circ}\)，且\(a^2 + b^2 + c^2 = 12\)，則\((a^2,b^2,c^2)=\)____。
設平面 \( E_1: ax+by+cz=0 \)（法向量 \( \vec{n}_1=(a,b,c) \)，且 \( a^2+b^2+c^2=12 \)），平面 \( E_2:x=0 \)（法向量 \( \vec{n}_2=(1,0,0) \)），平面 \( E_3:x+\sqrt{3}y=0 \)（法向量 \( \vec{n}_3=(1,\sqrt{3},0) \)）。
#### 由 \( E_1, E_2 \) 的夾角（\( 60^\circ \)）：
\[
\cos60^\circ = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1||\vec{n}_2|} \implies \frac{1}{2} = \frac{|a|}{\sqrt{12} \times 1}
\]
得 \( |a| = \sqrt{3} \implies a^2=3 \)。
#### 由 \( E_1, E_3 \) 的夾角（\( 60^\circ \)）：
\[
\cos60^\circ = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_3|}{|\vec{n}_1||\vec{n}_3|} \implies \frac{1}{2} = \frac{|a+\sqrt{3}b|}{\sqrt{12} \times 2}
\]
得 \( |a+\sqrt{3}b|=2\sqrt{3} \)，代入 \( a=\pm\sqrt{3} \)，解得 \( b^2=1 \) 或 \( b^2=9 \)。
#### 結合 \( a^2+b^2+c^2=12 \)：
- 當 \( a^2=3, b^2=1 \) 時，\( c^2=12-3-1=8 \)；
- 當 \( a^2=3, b^2=9 \) 時，\( c^2=12-3-9=0 \)。
故 \( (a^2, b^2, c^2) = \boxed{(3,1,8)} \) 或 \( \boxed{(3,9,0)} \)。
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