<單選題>假設三角形 \(ABC\) 的三邊長分別為\(\overline{AB}=5\)、\(BC = 8\)、\(AC = 6\)。請選出和向量\(\overrightarrow{AB}\)的內積為最大的選項。
(1)\(\overset{\rightharpoonup}{AC}\)
(2)\(\overset{\rightharpoonup}{CA}\)
(3)\(\overset{\rightharpoonup}{BC}\)
(4)\(\overset{\rightharpoonup}{CB}\)
(5)\(\overset{\rightharpoonup}{AB}\)
根據向量內積公式\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow{b}\vert\cos\theta\)（\(\theta\)為\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow{b}\)的夾角）。
由餘弦定理\(\cos A=\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2AB\cdot AC}=\frac{25 + 36 - 64}{2\times5\times6}=-\frac{1}{20}\)；
\(\cos B=\frac{AB^{2}+BC^{2}-AC^{2}}{2AB\cdot BC}=\frac{25 + 64 - 36}{2\times5\times8}=\frac{53}{80}\)；
\(\cos C=\frac{AC^{2}+BC^{2}-AB^{2}}{2AC\cdot BC}=\frac{36 + 64 - 25}{2\times6\times8}=\frac{75}{96}=\frac{25}{32}\)。
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\vert\overrightarrow{AB}\vert\vert\overrightarrow{AC}\vert\cos A=5\times6\times(-\frac{1}{20})=-\frac{3}{2}\)；
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\frac{3}{2}\)；
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=\vert\overrightarrow{AB}\vert\vert\overrightarrow{BC}\vert\cos(\pi - B)=-5\times8\times\frac{53}{80}=-\frac{53}{2}\)；
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=\frac{53}{2}\)；
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}=\vert\overrightarrow{AB}\vert^{2}=25\)。
比較可得\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CB}\)最大。
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