<非選擇題>設三次實係數多項式\(f(x)\)的最高次項係數為\(a\)。已知在\(0\leq x\leq3\)的範圍中，\(f(x)\)的最大值12發生在\(x = 0\)，\(x = 2\)兩處。另一多項式\(G(x)\)滿足\(G(0)=0\)，以及對任意實數\(s\)，\(r(s\leq r)\)，\(\int_{s}^{r}f(t)dt=G(r)-G(s)\)恆成立，且函數\(y = G(x)\)在\(x = 1\)處有（相對）極值。在\(0\leq x\leq2\)的範圍中，求\(G(x)\)之最小值。(6分)
答案
承前，由 \( G(0)=0 \) 得 \( c=0 \)，故 \( G(x) = -3x^4 + 16x^3 - 24x^2 + 12x \)（\( 0 \leq x \leq 2 \)）。
求導：
\[
G'(x) = -12x^3 + 48x^2 - 48x + 12 = -12(x^3 - 4x^2 + 4x - 1)
\]
令 \( G'(x)=0 \)，因式分解得 \( (x-1)(x^2-3x+1)=0 \)，解得 \( x=1 \) 或 \( x=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2} \)（後兩者不在區間 \( [0,2] \) 內，舍去）。
分析單調性：
- \( x \in [0,1) \) 時，\( G'(x) > 0 \)，\( G(x) \) 遞增；
- \( x \in (1,2] \) 時，\( G'(x) > 0 \)，\( G(x) \) 遞增。
計算端點與臨界點值：
\[
G(0)=0,\ G(1)=1
\]
故 \( G(x) \) 的最小值為 \( \boxed{0} \)。
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