<單選題>
某公司統計上週8家分店的來店人數x（單位：百人）及營業額y（單位：萬元），數據如下：(3,3)、(3,5)、(3,2)、(4,4)、(5,8)、(6,7)、(8,12)、(8,7)，最適直線為\(y=\frac{5}{4}x-\frac{1}{4}\)。將數據各自排序得新數據：
(3,2)、(3,3)、(3,4)、(4,5)、(5,7)、(6,7)、(8,8)、(8,12)，設新最適直線為\(y=mx+b\)，試選出正確的選項？
(1) \(m=\frac{5}{4}\)且\(b=-\frac{1}{4}\)
(2) \(m\gt\frac{5}{4}\)且\(b\gt-\frac{1}{4}\)
(3) \(m\gt\frac{5}{4}\)且\(b<-\frac{1}{4}\)
(4) \(m\lt\frac{5}{4}\)且\(b\gt-\frac{1}{4}\)
(5) \(m\lt\frac{5}{4}\)且\(b<-\frac{1}{4}\)
首先，我們需要明確求最適直線（這裡可理解為迴歸直線）的斜率\(m\)和截距\(b\)的相關知識，迴歸直線的斜率\(m=\frac{\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}}\)，截距\(b=\bar{y}-m\bar{x}\)，其中\(\bar{x}\)是\(x\)的平均值，\(\bar{y}\)是\(y\)的平均值。
### 步驟一：計算原始數據的\(\bar{x}\)和\(\bar{y}\)
原始數據\(x\)：\(3,3,3,4,5,6,8,8\)；\(y\)：\(3,5,2,4,8,7,12,7\)。
\(\bar{x}=\frac{3 + 3+3+4+5+6+8+8}{8}=\frac{40}{8} = 5\)
\(\bar{y}=\frac{3 + 5+2+4+8+7+12+7}{8}=\frac{48}{8}=6\)
### 步驟二：計算新數據的\(\bar{x}\)和\(\bar{y}\)
新數據\(x\)：\(3,3,3,4,5,6,8,8\)；\(y\)：\(2,3,4,5,7,7,8,12\)。
\(\bar{x}=\frac{3 + 3+3+4+5+6+8+8}{8}=\frac{40}{8} = 5\)
\(\bar{y}=\frac{2 + 3+4+5+7+7+8+12}{8}=\frac{48}{8}=6\)
### 步驟三：分析斜率\(m\)的變化
對於迴歸直線斜率\(m\)，\(m=\frac{\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}}\)，分母\(\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}\)在原始數據和新數據中，因為\(x\)值沒有變化，所以分母不變。
分子\(\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y})\)，原始數據中\(y\)值相對分散，有較大的波動（如\(y = 2\)和\(y = 12\)等），新數據中\(y\)值隨著\(x\)的增大而更有規律地增大（\(x\)小的\(y\)小，\(x\)大的\(y\)大），所以新數據的分子\(\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y})\)會比原始數據的分子大。
因為分母不變，分子增大，所以\(m\)會增大，即\(m>\frac{5}{4}\)。
### 步驟四：分析截距\(b\)的變化
截距\(b=\bar{y}-m\bar{x}\)，\(\bar{x} = 5\)，\(\bar{y}=6\)，原始數據中\(b = 6-\frac{5}{4}\times5=6-\frac{25}{4}=-\frac{1}{4}\)。
新數據中\(m>\frac{5}{4}\)，所以\(b=6 - m\times5\)，因為\(m>\frac{5}{4}\)，所以\(m\times5>\frac{25}{4}\)，則\(6 - m\times5<6-\frac{25}{4}=-\frac{1}{4}\)。
所以正確選項是(3)。 報錯
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