<多選題>有一個抽牌拿獎金活動，規則如下：
在一個不透明箱子中有 2 張標示金額「1000 元」的牌及 3 張標示金額「0 元」的牌。參加者從箱中隨機抽出一張牌，在不知道抽出牌標示的金額情況下，主持人再將一張標示金額「500 元」的牌放入箱中。此時參加者有以下兩種選擇：
（一）保留原先抽出的牌，該牌標示的金額即為獲得的獎金。
（二）放棄原先抽出的牌且不放回，再從箱中隨機抽出一張牌，該牌標示的金額即為獲得的獎金。
今某甲參加此活動，假設每張牌被抽中的機會均相等，試選出正確的選項。
(1) 若某甲選擇（一），則獲得獎金 0 元的機率為 \(\frac{3}{5}\)
(2) 若某甲選擇（一），則獲得獎金的期望值為 500 元
(3) 若某甲選擇（二），則獲得獎金 1000 元的機率為 \(\frac{2}{5}\)
(4) 若某甲選擇（二），則獲得獎金 0 元的機率為 \(\frac{12}{25}\)
(5) 若某甲選擇（二），則獲得獎金的期望值為 420 元
好的，我們先一步步推理這個抽獎問題。
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## 1. 初始情況
箱子裡有 5 張牌：
- 2 張 1000 元
- 3 張 0 元
某甲先隨機抽一張牌（不知道金額），然後主持人放入一張 500 元牌，此時箱中有 5 張牌：
- 某甲手上 1 張（可能是 1000 元或 0 元）
- 箱子裡剩 4 張牌（包含 2 張 1000 元與 3 張 0 元中的剩餘部分）
- 再加入 1 張 500 元牌，所以箱子裡總共 4 張牌（來自原剩的 4 張 + 0 張？等等，要算清楚）
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**初始：** 箱 5 張 = 2 張 1000 元 + 3 張 0 元
甲抽 1 張後，箱剩 4 張牌（結構取決於甲抽到什麼）。
然後主持人放入 1 張 500 元牌，所以此時箱中有 5 張牌嗎？不對，題意是：
「參加者從箱中隨機抽出一張牌，在不知道抽出牌標示的金額情況下，主持人再將一張標示金額『500 元』的牌放入箱中。」
所以順序是：
1. 甲抽 1 張（箱剩 4 張）
2. 主持人放入 500 元牌（箱變為 4 + 1 = 5 張）
3. 甲決定（一）保留原牌，或（二）放棄原牌（不放回），再從箱中抽 1 張。
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## 2. 選擇（一）的情況
甲保留原牌，獎金就是原牌金額。
原牌來自初始 5 張牌（2 張 1000 元，3 張 0 元），所以：
- 獎金 0 元機率 = \( \frac{3}{5} \)
- 獎金 1000 元機率 = \( \frac{2}{5} \)
期望值 = \( 0 \times \frac{3}{5} + 1000 \times \frac{2}{5} = 400 \) 元
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**(1)** 獲得獎金 0 元的機率為 \( \frac{3}{5} \) ✅ 正確
**(2)** 期望值為 500 元 ❌ 錯誤（是 400 元）
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## 3. 選擇（二）的情況
甲放棄原牌（不放回），再從箱中抽 1 張。
此時箱中 5 張牌：
- 原剩 4 張（結構取決於第一抽抽到什麼）
- 加上主持人放入的 1 張 500 元牌
所以第一抽的結果會影響箱中牌的分佈。
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### 情況 1：第一抽抽到 1000 元（機率 \( \frac{2}{5} \)）
初始剩 4 張牌 = 1 張 1000 元 + 3 張 0 元
加入 500 元牌後：箱中 = 1 張 1000 元 + 3 張 0 元 + 1 張 500 元（共 5 張）
第二抽獎金分佈：
- 1000 元機率 = \( \frac{1}{5} \)
- 500 元機率 = \( \frac{1}{5} \)
- 0 元機率 = \( \frac{3}{5} \)
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### 情況 2：第一抽抽到 0 元（機率 \( \frac{3}{5} \)）
初始剩 4 張牌 = 2 張 1000 元 + 2 張 0 元
加入 500 元牌後：箱中 = 2 張 1000 元 + 2 張 0 元 + 1 張 500 元（共 5 張）
第二抽獎金分佈：
- 1000 元機率 = \( \frac{2}{5} \)
- 500 元機率 = \( \frac{1}{5} \)
- 0 元機率 = \( \frac{2}{5} \)
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## 4. 選擇（二）的總機率
**(3) 獲得獎金 1000 元的機率**
\[
P = \frac{2}{5} \times \frac{1}{5} + \frac{3}{5} \times \frac{2}{5}
= \frac{2}{25} + \frac{6}{25} = \frac{8}{25}
\]
選項說 \( \frac{2}{5} = \frac{10}{25} \) ❌ 錯誤
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**(4) 獲得獎金 0 元的機率**
\[
P = \frac{2}{5} \times \frac{3}{5} + \frac{3}{5} \times \frac{2}{5}
= \frac{6}{25} + \frac{6}{25} = \frac{12}{25}
\]
✅ 正確
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**(5) 獲得獎金的期望值**
情況 1（第一抽 1000 元，機率 \( \frac{2}{5} \)）：
期望值 = \( \frac{1}{5} \times 1000 + \frac{1}{5} \times 500 + \frac{3}{5} \times 0 = 200 + 100 = 300 \)
情況 2（第一抽 0 元，機率 \( \frac{3}{5} \)）：
期望值 = \( \frac{2}{5} \times 1000 + \frac{1}{5} \times 500 + \frac{2}{5} \times 0 = 400 + 100 = 500 \)
總期望值 =
\[
\frac{2}{5} \times 300 + \frac{3}{5} \times 500
= 120 + 300 = 420
\]
✅ 正確
---
## 5. 結論
正確選項：(1)、(4)、(5)
\[
\boxed{145}
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