<多選題>數列 \( a_1, a_2, \cdots \) 中，其奇數項是一個公比為 \( \frac{1}{3} \) 的等比數列，而偶數項是一個公比為 \( \frac{1}{2} \) 的等比數列，且 \( a_1 = 3, a_2 = 2 \)。試選出正確的選項。
(1) \( a_4 \gt a_5 \gt a_6 \gt a_7 \)
(2) \( \frac{a_{10}}{a_9} \gt 10 \)
(3) \( \lim\limits_{n \to \infty} a_n = 0 \)
(4) \( \lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = 0 \)
(5) \( \sum\limits_{n=1}^{100} a_n \gt 9 \)
答案
奇數項：\( 3, 1, \frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \cdots \)
偶數項：\( 2, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \cdots \)
(1) \( a_4=1, a_5=\frac{1}{3}, a_6=\frac{1}{2}, a_7=\frac{1}{9} \)，順序錯誤
(2) \( \frac{a_{10}}{a_9} = \frac{1/8}{1/27} = \frac{27}{8} = 3.375 \lt 10 \)，錯誤
(3) 正確，兩子數列均趨近於0
(4) 錯誤，極限不存在（奇偶項比值不同）
(5) 總和 > \( 3+2+1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots \gt 9 \)，正確
答案：(3)(5) 報錯
ChatGPT DeepSeek
相關試題
