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108指考數學乙試題-05


<多選題>考慮如下的九宮格:

1 2 3
4 5 6
7 8 9

編號1、3、7、9的四格稱為「角」,編號2、4、6、8的四格稱為「邊」,而編號5的格子稱為「中心」。在此九格中放入5個○及4個×的記號,每一格只能放入一個○或一個×,且任一行(例如位置1、4、7)、任一列(例如位置4、5、6),以及任一對角線(對角線是指位置1、5、9或位置3、5、7)的三個記號不能完全相同(例如位置1、5、9不能全為○或全為×)。試選出正確的選項。
(1) 若在中心放○,則可能有三個○放在邊上
(2) 若在中心放○,則一定恰有兩個○放在角上
(3) 若在中心放×,則一定恰有兩個×放在角上
(4) 中心放○的方法共有8種
(5) 中心放×的方法共有4種

答案

針對3×3方格內放置○(避免任一行/列連成3個)的條件分析:

(1)×:若中心放○,且邊上有3個○,則某一行/列必出現3個○連線(不符合規則)。

(2)○:中心放○時,邊和角恰好各放2個○,可避免任一行/列連成3個○。

(3)×:中心放×,若邊上放2個×、角上放1個×,此配置是成立的,故該描述錯誤。

(4)○:中心放○的合法配置如下(共8種):
\[
\begin{array}{cccc}
\boxed{\begin{matrix} \square & \bigcirc & \bigcirc \\ \bigcirc & \bigcirc & \square \\ \square & \square & \bigcirc \end{matrix}} &
\boxed{\begin{matrix} \bigcirc & \bigcirc & \square \\ \square & \bigcirc & \bigcirc \\ \bigcirc & \square & \square \end{matrix}} &
\boxed{\begin{matrix} \bigcirc & \square & \square \\ \square & \bigcirc & \bigcirc \\ \bigcirc & \bigcirc & \square \end{matrix}} &
\boxed{\begin{matrix} \square & \square & \bigcirc \\ \bigcirc & \bigcirc & \square \\ \square & \bigcirc & \bigcirc \end{matrix}} \\
\boxed{\begin{matrix} \bigcirc & \square & \bigcirc \\ \square & \bigcirc & \bigcirc \\ \square & \bigcirc & \square \end{matrix}} &
\boxed{\begin{matrix} \bigcirc & \square & \bigcirc \\ \bigcirc & \bigcirc & \square \\ \square & \bigcirc & \square \end{matrix}} &
\boxed{\begin{matrix} \square & \bigcirc & \square \\ \bigcirc & \bigcirc & \square \\ \bigcirc & \square & \bigcirc \end{matrix}} &
\boxed{\begin{matrix} \square & \bigcirc & \square \\ \square & \bigcirc & \bigcirc \\ \bigcirc & \square & \bigcirc \end{matrix}} \\
\end{array}
\]

(5)×:中心放×的配置雖有8種,但不符合「避免連線」的核心條件(描述邏輯錯誤)。

故選(2)(4)。


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