<單選題>坐標平面上有兩向量 \(\overset{\rightharpoonup}{u} = (5,10) \)，\(\overset{\rightharpoonup}{v} = (-4,2)\)。請問下列哪一個向量的長度最大？
(1) \(-3 \overset{\rightharpoonup}{u}\)
(2) \(6 \overset{\rightharpoonup}{v}\)
(3) \(-2 \overset{\rightharpoonup}{u} – 5 \overset{\rightharpoonup}{v}\)
(4) \(2 \overset{\rightharpoonup}{u} – 5 \overset{\rightharpoonup}{v}\)
(5) \(\overset{\rightharpoonup}{u} + 7 \overset{\rightharpoonup}{v}\)
答案
\(\overset{\rightharpoonup}{u} = (5,10)\)，長度 \(\sqrt{125}=5\sqrt{5}\)；\(\overset{\rightharpoonup}{v} = (-4,2)\)，長度 \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)。
(1) 長度 \(3\times 5\sqrt{5}=15\sqrt{5}\)
(2) 長度 \(6\times 2\sqrt{5}=12\sqrt{5}\)
(3) 向量 \((-10,-20) - (-20,10) = (10,-30)\)，長度 \(\sqrt{100+900}=\sqrt{1000}=10\sqrt{10} \approx 31.62\)
(4) 向量 \((10,20) - (-20,10) = (30,10)\)，長度 \(\sqrt{900+100}=\sqrt{1000}=10\sqrt{10} \approx 31.62\)
(5) 向量 \((5,10) + (-28,14) = (-23,24)\)，長度 \(\sqrt{529+576}=\sqrt{1105} \approx 33.24\)
最大為 (5)。
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