<選填題>坐標平面上，有兩點 \( A(4,-1) \) 與 \( B(-2,2) \)。已知點 \( C(x,y) \) 滿足聯立不等式 \( x+2y \geq 2 \)、\( x-y \geq -4 \)、\( y \leq 8 \) 以及 \( 3x+y \leq 23 \)，則當 \( C \) 點坐標為 \( (\underline{\qquad},\underline{\qquad}) \) 時，\(\triangle ABC\) 有最大的面積。
答案
(5,8)。
直線\(3x + y = 23\)、\(y = 8\)、\(x - y = -4\)、\(x + 2y = 2\)的交點：\((4,8)\)、\((5,8)\)、\(B(-2,2)\)、\(A(4,-1)\)、\(\left( \frac{44}{5}, -\frac{17}{5} \right)\)。
已知\(A\)、\(B\)在直線\(L: x + 2y = 2\)上，故\(\triangle ABC\)的面積可表示為：
\[
\text{面積} = \frac{1}{2} \times |AB| \times d(C, L)
\]
（其中\(d(C, L)\)為點\(C\)到直線\(L\)的距離）
要使面積最大，需最大化\(d(C, L)\)：
- 若\(C(4,8)\)，則
\[
d(C, L) = \frac{|4 + 2 \times 8 - 2|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{18}{\sqrt{5}} = \frac{18\sqrt{5}}{5}
\]
- 若\(C(5,8)\)，則
\[
d(C, L) = \frac{|5 + 2 \times 8 - 2|}{\sqrt{5}} = \frac{19}{\sqrt{5}} = \frac{19\sqrt{5}}{5}
\]
因此，當\(C\)點為\((5,8)\)時，\(\triangle ABC\)的面積最大。
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