<多選題>設 \( a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n \) 是首項為3且公比為\(3\sqrt{3}\)的等比數列。試選出滿足不等式
\[\log_3 a_1 – \log_3 a_2 + \log_3 a_3 – \log_3 a_4 + \cdots + (-1)^{n+1} \log_3 a_n \gt 18\]的項數 \( n \) 之可能選項。
(1) 23 (2) 24 (3) 25 (4) 26 (5) 27
答案
\( a_n = 3 \cdot (3\sqrt{3})^{n-1} = 3^{\frac{3n-1}{2}} \Rightarrow \log_3 a_n = \frac{3n-1}{2} \)
交錯和 \( S_n = \frac{1}{2}[2 - 5 + 8 - 11 + \cdots + (-1)^{n+1}(3n-1)] \)
當 \( n \) 為奇數時，\( S_n = \frac{1}{2}[2 + 3 \times \frac{n-1}{2}] \gt 18 \Rightarrow n \gt 23\frac{2}{3} \)
又 \( n \) 為奇數，故選(3)(5) 報錯
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