106學測數學考科–A

數列和級數

<選填題>遞迴數列 \( (a_n) \) 滿足 \( a_n = a_{n-1} + f(n-2) \)，其中 \( n \geq 2 \) 且 \( f(x) \) 為二次多項式。若 \( a_1 = 1, \, a_2 = 2, \, a_3 = 5, \, a_4 = 12 \)，則 \( a_5 = \underline{\qquad} \)。

答案

由遞迴式得：
\(f(0)=a_2-a_1=1\)，
\(f(1)=a_3-a_2=3\)，
\(f(2)=a_4-a_3=7\)。
設\(f(x)=ax^2+bx+c\)，代入得：
\(c=1\)，
\(a+b+1=3 \Rightarrow a+b=2\)，
\(4a+2b+1=7 \Rightarrow 4a+2b=6 \Rightarrow 2a+b=3\)。
解得\(a=1, b=1, c=1\)，即\(f(x)=x^2+x+1\)。
\(f(3)=9+3+1=13\)，故\(a_5=a_4+f(3)=12+13=25\)。答案：25

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