<多選>8. 設 \( a > 1 > b > 0 \)，關於下列不等式，請選出正確的選項。
(1) \( (-a)^7 > (-a)^9 \)
(2) \( b^{-9} > b^{-7} \)
(3) \( \log_{10} \frac{1}{a} > \log_{10} \frac{1}{b} \)
(4) \( \log_a 1 > \log_b 1 \)
(5) \( \log_a b \geq \log_b a \)
答案
(1) 正確：
因 \( a > 1 \)，故 \( a^7 < a^9 \)，
兩邊同乘 \(-1\) 得 \( -a^7 > -a^9 \)，
即 \( (-a)^7 > (-a)^9 \)。
(2) 正確：
因 \( 0 < b < 1 \)，所以 \( \frac{1}{b} > 1 \)，
而 \( b^{-9} = \left(\frac{1}{b}\right)^9 \)，\( b^{-7} = \left(\frac{1}{b}\right)^7 \)，
故 \( b^{-9} > b^{-7} \)。
(3) 錯誤：
由 \( a > 1 > b > 0 \) 得 \( \frac{1}{a} < 1 < \frac{1}{b} \)，
所以 \( \log_{10} \frac{1}{a} < \log_{10} \frac{1}{b} \)。
(4) 錯誤：
因為 \( \log_a 1 = 0 = \log_b 1 \)，兩者相等。
(5) 錯誤：
取 \( a = 2 \)，\( b = \frac{1}{8} \)，
則 \( \log_a b = \log_2 \frac{1}{8} = -3 \)，
\( \log_b a = \log_{1/8} 2 = -\frac{1}{3} \)，
此時 \( \log_a b < \log_b a \)，故不恆成立。
因此，正確選項為 **(1)(2)**。
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