<選填>令 \(A\)、\(B\) 為坐標平面上兩向量。已知 \(A\) 的長度為 1,\(B\) 的長度為 2 且 \(A\) 與 \(B\) 之間的夾角為 60°。令 \(u = A + B\),\(v = xA + yB\),其中 \(x, y\) 為實數且符合 \(6 \leq x + y \leq 8\) 以及 \(-2 \leq x – y \leq 0\),則內積 \(u \cdot v\) 的最大值為____________。
答案
解：
\[
\vec{u} \cdot \vec{v} = (\vec{A} + \vec{B}) \cdot (x\vec{A} + y\vec{B}) = x|\vec{A}|^2 + (x+y)\vec{A}\cdot\vec{B} + y|\vec{B}|^2
\]
由題設 \( |\vec{A}| = 1 \)，\( |\vec{B}| = 2 \)，\( \angle(\vec{A},\vec{B}) = 60^\circ \)，得：
\[
= x + (x+y) \cdot 1 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ + y \cdot 4 = x + (x+y) + 4y = 2x + 5y
\]
利用線型規劃概念，作圖求可行解點：
\[
\begin{array}{c|cccc}
(x, y) & (3,3) & (4,4) & (2,4) & (3,5) \\
\hline
2x+5y & 21 & 28 & 24 & 31 \\
\end{array}
\]
∴ 最大值為 \( 31 \)。
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