<多選>設 \(a_1 = 1\) 且 \(a_1, a_2, a_3, \ldots\) 為等差數列。請選出正確的選項。
(1) 若 \(a_{100} > 0\),則 \(a_{1000} > 0\)
(2) 若 \(a_{100} < 0\),則 \(a_{1000} < 0\)
(3) 若 \(a_{1000} > 0\),則 \(a_{100} > 0\)
(4) 若 \(a_{1000} < 0\),則 \(a_{100} < 0\)
(5) \(a_{1000} – a_{10} = 10(a_{100} – a_1)\)
答案
設公差為 \( d \)。由公式 \( a_n = a_1 + (n-1)d \)，得：
\[
a_{100} = 1 + 99d, \quad a_{1000} = 1 + 999d
\]
(1) 反例：當 \( d = -0.01 \) 時，
\( a_{100} = 1 - 0.99 = 0.01 > 0 \)，但 \( a_{1000} = 1 - 9.99 = -8.99 < 0 \)。
(2) 若 \( a_{100} = 1 + 99d < 0 \)，則 \( d < -\dfrac{1}{99} \)，
故 \( a_{1000} = 1 + 999d < 1 - \dfrac{999}{99} < 0 \)。
(3) 若 \( a_{1000} = 1 + 999d > 0 \)，即 \( d > -\dfrac{1}{999} \)，
則 \( a_{100} = 1 + 99d > 1 - \dfrac{99}{999} > 0 \)。
(4) 反例：當 \( d = -0.01 \) 時，
\( a_{1000} = -8.99 < 0 \)，但 \( a_{100} = 0.01 > 0 \)。
(5) 因為：
\[
a_{1000} - a_{10} = (1 + 999d) - (1 + 9d) = 990d
\]
\[
10(a_{100} - a_1) = 10(1 + 99d - 1) = 990d
\]
所以 \( a_{1000} - a_{10} = 10(a_{100} - a_1) \)。
故選 (2)(3)(5)。
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