<多選題>已知函數 \( f(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right) \)，試選出正確的選項。
(1) 若 \( 0\leq x<2\pi \)，則 \( f(x) \) 的最大值為 \( \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} \)
(2) 若 \( 0\leq x<2\pi \) 且 \( f(x) \) 在 \( x=a \) 時取得最小值，則 \( a=\frac{7\pi}{4} \)
(3) 函數 \( y=f(x) \) 圖形的週期為 \( \pi \)
(4) 若 \( 0\leq \alpha <\beta <2\pi \) 且 \( f(\alpha)=f(\beta)=\frac{1}{2} \)，則 \( \alpha +\beta=\pi \)
(5)若 \( 0 \leq x < 8\pi \) ，則所有滿足方程式 \( f(x) = 0 \) 的相異實數解之和為 \( 30\pi \)
答案
(1)(2)(5)
化簡得 \( f(x)=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right) \)。週期為 \( 2\pi \)，(3)錯。解 \( \sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=1 \) 得最大值，(1)對。解最小值位置，(2)對。解 \( f(x)=\frac{1}{2} \) 得對稱軸非 \( \pi \)，(4)錯。解 \( f(x)=0 \) 在區間內得8個解，成等差，總和為 \( 30\pi \)，(5)對。
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