<單選>已知實數 \( a,b \) 滿足 \( \frac{1}{2} \lt a \lt 1 \) 及 \( 1 \lt b \lt 2 \)。試問下列哪個選項的值最小？
(1) 0
(2) \( \log a \)
(3) \( \log(a^2) \)
(4) \( \log b \)
(5) \( \frac{1}{\log b} \)
1. 分析選項(2)：
因 \( \frac{1}{2} < a < 1 \)，對數函數 \( y = \log x \)（以10或自然對數為底，底數>1）在\( (0,1) \)上為負，故 \( \log a < 0 \)。
2. 分析選項(3)：
\( \log(a^2) = 2\log a \)，因 \( \log a < 0 \)，故 \( 2\log a < \log a \)（負數乘以2更小）。
3. 分析選項(4)：
因 \( 1 < b < 2 \)，故 \( \log b > 0 \)。
4. 分析選項(5)：
因 \( \log b > 0 \)，故 \( \frac{1}{\log b} > 0 \)。
5. 比較選項(2)與(3)：
令 \( a = \frac{\sqrt{2}}{2} \)（滿足 \( \frac{1}{2} < a < 1 \)），則 \( \log a = \log \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2}\log 2 - \log 2 = -\frac{1}{2}\log 2 \)，\( \log(a^2) = 2 \times (-\frac{1}{2}\log 2) = -\log 2 \)。
因 \( -\log 2 < -\frac{1}{2}\log 2 \)，故 \( \log(a^2) < \log a \)。
综上，選項(3)的值最小。" 報錯
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